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乒乓球新旧赛制对比分析自2001年10月1日起,国际乒联改用11分制等新规则.乒乓球老将王家声认为,规则改变的实践效果的检验标准是三个有利于：要有利于运动的推广,有利于形成对抗激烈
乒乓球新旧赛制对比分析
关键字：11分制 21分制
题目描述：
自2001年10月1日起,国际乒联改用11分制等新规则.11分制的实行,使比赛偶然性增加,让一些二三流选手也有机会战胜一流选手.“但这个偶然性应有个度,”王家声说：“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰,三四流选进决赛,那它就不是好规则了.”,是否会象羽毛球7分制一样实行不久就取消呢?
请就乒乓球新旧赛制对比分析,试对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析；试对11分制的7盘5胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析；请就是否有利于运动的推广；是否有利于形成对抗激烈,场面精彩的比赛；是否有利于它的市场开发和赞助商利益方面来评价乒乓球11分制利弊如何,并作出建议.
参量和函数说明：
I 中的如下：
A：选手一 B：选手二
WA:A胜的球数 WB: B胜的球数
g: A每球的胜率,即赢得一球的概率
P1: 11分制下,A胜出一局,且WA=11,WB<10时,的概率
P2：11分制下,A胜出一局,且 WB>=10,WA=WB+2时,的概率
P3：11分制下,A胜出一局的总概率
P4：11分制下,5盘3胜,A胜出的总概率
P5：11分制下,7盘4胜,A胜出的总概率
p3: 21分制下,A胜出一局的总概率
p4: 21分制下,3盘2胜,A胜出的概率
p5: 21分制下,5盘3胜,A胜出的概率
II 中的如下：
A：选手一 B：选手二
i:A的得分,赢球数 j:B的得分,赢球数 n:总球数
g(i,j): A在比分i:j下胜出一球的概率,是随赛程而变化的函数
g0：A刚开始时的胜率
m(x):来表A进入状态的快慢程度对g造成影响的调谐因子
α:关键球(决胜负的一球)对A方对输赢此球的影响的因子
w(i,j)：用来描述A方输赢在比分i:j下,赢得此球的因子函数,当状态i:j时为可决定胜负(关键球)时w(i,j)=α,否则w(i,j)=1(也就是对比赛无影响)
L(x)：A输球数(输球数为负时,即赢球)对g的影响的因子函数,其中x=i-j
C：用来来标记A是否最先发球,若是则C=0,否则C=1
F(x)：发球权对A的胜率g的影响的因子函数,其中在11分制下x= mod(2) ,21分制下x= mod(2) .
G(i,j)：到达比分i:j时的概率
L1：表示A胜的折线 L2：表示B胜的折线
P1：在11分制下,A胜出一局的概率 P’1：在21分制下,A胜出一局的概率
解答过程：
I,初步建模
我们不妨先建立一个两选手对战的模型,且作出以下规定：1,根据两选手的技术水平,给定他们每一球胜出的概率；2,假设这种概率是恒定不变的,也就是说不考虑其它因素的影响.
现有两选手A和B对战,我们现在只拿出一个选手出来作考虑,比如A,因为比赛双方是相对的,确定了A的胜率,B胜率也随之确定(等于1减去A的胜率).记A赢球为标志1,输球为标志为0,则概率空间X={0,1}.假设比赛共打了n球,则由前面的假设易知,存在服从0-1分布的n个相互独立的随机变数x1,x2,x3,…,xn ,其中xi∈X,i=1,2,..,n.
设A每球的胜率为g(相应地B的胜率为1-g),对战n盘,有Y=X1+X2+…+Xn ,服从两项分布ψ(n,g).
一、现在我们先来讨论11分制下A选手胜出的总的概率.
由于在每一局中,只有当A先胜出B至少两球,且打足11球时,A方可赢得这一局.
这样说来,我们可分两种情况来讨论,一是A先胜出11球,且B胜出的不足10球,则A就可胜出了.二是,B超过或等于10球,这时当且仅当A领先出两球时,A才可赢得本局.
记A胜的球数为WA,B的为WB.对第一种情况,WA=11,WB<10；现在来算A胜出此局的概率,并记为P1,由于最后一球必为A胜的,故在对战盘数n=WB+10下来讨论
Yn=X1+X2+…+Xn
P(Y=10)= g10(1-g)WB 其中WB=0,1,2,..9
由上式知,A可在WB=i,其中i=0,1,2,…,9的情况下胜出,由于事件之间是互斥的,所以概率可叠加,因此可得P1 ：
P1= gP(Y10+i=10)= g11(1-g)i
对于第二种情况下,亦即WB>=10,WA=WB+2,记A胜出此局的概率为P2,则前20球必为AB各胜10球(否则就是第一种情况了),总球数n=WA+WB=2WB+2,即n=22,24,…,2k+2,…
A要胜出此局,则最后两球必为A赢的,对于每一n=2k+2,k>=10,我们考虑从第21球开始
的r=n-22球(包括第21球),A,B在这期间的胜负可以说是交替的,即可以把相邻两球作为一个整体,把这段期间作分割,如下:
(第21球,第22球 ),(第23球,第24球)…………….(第n-4球,第n-3球)
在每个分割中,A,B各胜一球.
A在不同球数下胜出的事件均是互斥的.故有
P2= g10(1-g)10 其中k=10,11,12,…
=
记F(k)= =2-11g (1-g)-1
由于g是概率,故0≤g≤1,那么1-g≥0,所以有0≤2g(1-g)≤ =
故 = ,记L=2g(1-g), t=2-11g (1-g)-1/(1-L)
则F(k)= t Lk ≤t(1/2)k
由此可知,P2为收敛级数,并且有P2=tL11=
现在,我们来看一下,A胜出此局的概率是多少?我们记之为P3.由于,A在不同球数胜出的事件是相互独立的,互斥的,所以有
P3=P1+P2
=
a,对于5盘3胜
用P4来记A胜的概率,则比赛的盘数n可为3,4,5
n=3时,概率为： (P3)3
n=4时,最后一盘必为A胜,故概率为：P3 (P3)2(1-P3)
n=5时,最后一盘也必为A胜,故概率为：P3 (P3)2(1-P3)2
于是有P4=(P3)3+ P3 (P3)2(1-P3)+ P3 (P3)2(1-P3)2=10(P3)3 – 15(P3)4+6(P3)5
b,对于7盘4胜
用P5来记A用的概率,则比赛的盘数n可为4,5,6,7
n=4时,概率为： (P3)4
n=5时,最后一盘必为A胜,故概率为：P3 (P3)3(1-P3)
n=6时,最后一盘也必为A胜,故概率为：P3 (P3)3(1-P3)2
n=7时,最后一盘也必为A胜,故概率为：P3 (P3)3(1-P3)3
于是有P5=(p3)4[-20(P3)3+70(P3)4-84P3+35]或P5=(p3)4[1+4(1-p3)+10(1-p3)2+20(1-p3)3]
二、现在来讨论21分制下A选手胜出的总的概率.
有了11分制的的讨论,21分制下将易得出如下结果,(其论证过程类似于11分制的论证程)
对应于11分制下的P3,我们有p3=
=
a,对于3盘2胜下A胜出的概率,对应于11分制下的P4,我们记之为p4,则有
p4=3(p3)2-2(p3)3
b,对于5盘3胜下A胜出的概率,对应于11分制下的P5,我们记之为p5,则有
p5=(p3)3[6(p3)2-15p3+10]
下面我们用Mathimatica来分别作出P4和p4,P5和p5的图象比较如下：
并以步长为0.025,计算出g从0到1,P4和p4,P5和p5的比较数据如下：
num g P4 p4 P5 p5
1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.025 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.050 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.075 0.000 0.000 0.000 0.000
5 0.100 0.000 0.000 0.000 0.000
6 0.125 0.000 0.000 0.000 0.000
7 0.150 0.000 0.000 0.000 0.000
8 0.175 0.000 0.000 0.000 0.000
9 0.200 0.000 0.000 0.000 0.000
10 0.225 0.000 0.000 0.000 0.000
11 0.250 0.000 0.000 0.000 0.000
12 0.275 0.000 0.000 0.000 0.000
13 0.300 0.000 0.000 0.000 0.000
14 0.325 0.001 0.000 0.000 0.000
15 0.350 0.003 0.001 0.001 0.000
16 0.375 0.011 0.006 0.004 0.001
17 0.400 0.034 0.024 0.016 0.007
18 0.425 0.085 0.068 0.055 0.032
19 0.450 0.181 0.161 0.144 0.108
20 0.475 0.324 0.310 0.298 0.268
21 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500
22 0.525 0.676 0.690 0.702 0.732
23 0.550 0.819 0.839 0.856 0.892
24 0.575 0.915 0.932 0.945 0.968
25 0.600 0.966 0.976 0.984 0.993
26 0.625 0.989 0.994 0.996 0.999
27 0.650 0.997 0.999 0.999 1.000
28 0.675 0.999 1.000 1.000 1.000
29 0.700 1.000 1.000 1.000 1.000
30 0.725 1.000 1.000 1.000 1.000
31 0.750 1.000 1.000 1.000 1.000
32 0.775 1.000 1.000 1.000 1.000
33 0.800 1.000 1.000 1.000 1.000
34 0.825 1.000 1.000 1.000 1.000
35 0.850 1.000 1.000 1.000 1.000
36 0.875 1.000 1.000 1.000 1.000
37 0.900 1.000 1.000 1.000 1.000
38 0.925 1.000 1.000 1.000 1.000
39 0.950 1.000 1.000 1.000 1.000
40 0.975 1.000 1.000 1.000 1.000
41 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
程序清单如下：
#include
#include
#include
double c(int i,int n){//返回组合数
if(i>n/2) i=n-i;
double s=1;
int k,j;
for(k=n,j=1;j<i+1;j++,k--)
s=s*k/j;
return s;
}
int main()
{
freopen("cmp.out","w",stdout);
int i=0,k=1;
double g,s,temp,p4=1,p5,pp4,pp5;//p4 为P4,pp4为p4,p5为P5,pp5为p5
s=0;temp=1;
printf("num g P4\t p4\t P5\t p5\n");
for(g=0.00;g<=1;g+=0.025){
s=0;temp=1;
for(i=0;i<10;i++){
s+=c(10,i+10)*temp*pow(g,11);
temp*=1-g;
}
s=s+c(10,20)*pow(g*(1-g),10)*g*g/(1-2*g*(1-g));//s为P3
p4=pow(s,3);
p5=p4*s;
p4=p4*(1+3*(1-s)+6*(1-s)*(1-s));
p5=p5*(1+4*(1-s)+10*(1-s)*(1-s)+20*(1-s)*(1-s)*(1-s));
s=0;temp=1;
for(i=0;i<20;i++){
s+=c(20,i+20)*temp;
temp*=1-g;
}
s*=pow(g,21);
s=s+c(20,40)*pow(g*(1-g),20)*g*g/(1-2*g*(1-g));//s为p3
pp4=s*s*(3-2*s);
pp5=s*s*s*(1+3*(1-s)+6*(1-s)*(1-s));
printf("%3d %.3lf %.3lf\t%.3lf\t%.3lf\t%.3lf\n",k++,g,p4,pp4,p5,pp5);
}
fclose(stdout);
return 0;
}
现在对图象与数据进行分析：
数据与图象是吻合的,图象是直观的,数据只是对图象的一个辅肋理解和有力佐证（因为细微的差别在图象上是较难发现的）.
现在我们来简单验证一下图象与数据的模拟效果如何.无论是在数据上还是图象上,一个很明显的特点就是赢的概率是g的增函数.容易看出,当选手的胜率g为0.5时,无论在哪一种情况下,他赢得本场比赛的概率均为0.5,相应地当g趋向0时,赢的概率也趋于0,g趋于1时,赢的概率也趋于1；这个与事实是相符合的,事实上当两人势均力敌时,当然哪一方赢的概率均为0.5；当某一方胜率g=0（或g=1）时,说明两个级别相差悬殊的选手在比赛,很明显,当然是优势的一方胜出的了,亦即无论是11分制还是21分制, “世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰,三四流选进决赛”的“偶然性”（概率）,是趋近于零的.那么一流选手与二,三流之间的关系如何呢?
从图象和数据中,一流选手对阵二三流时,就是当胜率略大于0.5时的情形了,可以看出,在11分制下时,一流选手落败的“偶然性”比在21分制下落败的要大一点（数据上很明显了,图象上是21分制的概率曲线是在11分制的概率曲线之上的,说明在相同的胜率g下,21分制下该选手胜出比赛的概率要大）.这个也实际情况也是相符合的, “11分制的实行,使比赛增加偶然性增加,让一些二三流选手也有机会战胜一流选手”.这是因为11分制所用的赛程比21分制下的要短,所以优势一方相对不利.以上论述充分证明了拟合效果是可以接受的,模型是正确的.
也许,你会认为上述两个图象的概率曲线都较接近,差别不太明显,这是因为多盘比赛平均下来使得正负减弱,图象均衡,不妨来看一下单局时的情况,如下图所示,下图是一个仅表示一局的11分制和21分制下输赢概率的比较,亦即P3与p3的比较,差别比较明显.
本模型也证明了,11分制是可以接受的.因为它使比赛的“偶然性”增加,使比赛更加惊险,优势选手也稍弱的选手之间的竞技更具悬念,也就是说“有利于形成对抗激烈,场面精彩的比赛”；使比赛更吸引人,赛程的缩短也不会使观众因长时间观看而感到乏味,于是更多的观众会观看这些相对更惊险的比赛.同时比赛偶然性的增加,也使的更多弱势选手,乒乓球爱好者跃跃欲试,更勇敢地加入到比赛的行列中去,“运动就是这样推广开去的”.观众的增加,和对此项运动的热爱增加,将更有利于乒乓球市场的开发,赞助商的投入也回得到更大的回报,其产品,企业知明度将有所上升,更有利于他的利益.
II、综合模型
显然影响比赛结果的不会单单只有技术因素的,技术因素是最关键的因素,但是想要得到更好的模拟效果,我们还必需考虑更多,更全面才行!
现在,我们来分析一下影响选手们比赛结果的因素.
1, 技术因素,这个是关键,在I 中我们已详细讨论过了.
2, 心理因素,在这方面,我们可考虑选手们在处理比分问题时的能力,受比分影响的因素和处理关键球（决胜负的一球）时的能力问题,也就是选手受关键球影响的因素.
3, 进入状态的时间长短,有些选手很快进入状态,但有些却是慢热型的,11分制下与21分制下由于赛程的长短不一致,所以选手的慢热与否会影响比赛的结果
4, 发球权,有些选手在发球方面很讲技术,随着11分制由21分制的5球一换变成2球一换,这必然会对选手造成影响的.
5, 体力问题,由于选手们均是长期接受严格的训练,长期参赛的,所以,一般来说,双方的体力消耗都是同等下降的,故可看作等同的,所以可以忽略不作考虑.
根据上述因素,我们在I的基础上建立一个更加复杂,综合的模型.
仍旧拿A和B作考虑,A的胜率也还是记为g ,(由于B的也相应决定,为1-g,所以就不另作讨论了).但是现在的g是要考虑到受其它因素影响的,是变动的,而不象I中单单受技术因素决定、恒定的.现在就来讨论一下g应如何表示吧.
g主要由技术因素决定,但是会随赛程的进展而变动.首先g还会受到比分影响.我们可定义g=g(i,j),其中记A与B的得分分别为i和j,也就是说此时A、B的比分为i:j.令g0为A开始时的胜率(注意这个是赢球的概率,而不完全是技术水映,因为刚开始时,选手可能还没有进入状态).现考虑选手进入状态的快慢对g的影响,记函数m(x),其中x=i+j,用m(x)来表A进入状态的快慢程度对g造成影响的调谐因子,于是有g(i,j)=g0*m(i+j).显然当A比B快进入状态时0≤m(x)≤1,单调上升,因为随着比赛的进行,B越来越进入状态了,g慢慢减少.反之,若慢,则1≤m(x),单调下降,因为随着赛事的进行,A越来越进入状态了,g慢慢增大,g增大的速度就会减慢.但无论m(x)是增还是降,最后均会趋于一定值,记为m0.不妨设当x=K时,m(x)=m0 .我们可记当选手进入稳定状态时g=g(i,j)m0 .
现在来考虑关键球对g的影响,前面已说过关键球其实就是决胜负的一球,我们把这一球对A、B方对输赢此球的影响用因子α表示.我们不妨用一函数w(i,j)来描述这种情况,当状态i:j时为可决定胜负时w(i,j)=α,否则w(i,j)=1(也就是对比赛无影响).所以,现在可记g(i,j)=g0m(i+j)w(i,j).
现在来考虑A输球数(输球数为负时,即赢球)对g的影响,现定义一函数L(x),其中x=i-j.显然当x>0时L(x)≥1,x=0时L(x)=1,x<0时,L(x)≤1.所以现在可记g(i,j)=g0m(i+j)w(i,j)L(i-j).
最后,我们来考虑发球权对A的胜率g的影响,设当A获得发球权时,影响用β1表示,无发球权时,用β2表求.因为11分制下是2球一换的,所以我们用C来标记是否A最先发球,若是则C=0,否则C=1.那么A发球的充要条件是 mod(2)等于0,否则等于1.同理,在21分制下,若A发球的充要条件是 mod(2)等于0,否则等于1,这里C与上相同.所以可定义一函数F(x),当x=0时,F(x)= β1 ,当x=1时,F(x)= β2 .这里,在11分制下x= mod(2) ,21分制下x= mod(2) .
所以,现在可记g(i,j)=g0m(i+j)w(i,j)L(i-j)F(x),其中x的定义如上.
好了,分析到此为止,g的表示式最终确定了下来了：
g(i,j)=g0m(i+j)w(i,j)L(i-j)F(x) ,各函数和参量的定义上面都均已给出
g的讨论正式结束,现在让我们进入下一阶段的讨论吧,讨论A胜出比赛的概率.
我们不妨随着比赛的进程,用比分i:j ,来详细探讨吧.现令G(i,j)为到达比分i:j时的概率.由于i:j是相互独立的,亦即不同的比分为互斥事件,当比分i:j,不为最终状态时(就是胜负状态时),到达此比分的可能由比分i-1:j或i:j-1达到的.因此可得G(i,j)
G(i,j)=g(i-1,j)G(i-1,j) i≥1,j=0
G(i,j)=(1-g(i,j-1))G(i,j-1) j≥1,i=0
G(i,j)=g(i-1,j)G(i-1,j)+(1-g(i,j-1))G(i,j-1) i,j≥1
当比分为胜负比分时,若A胜,亦即i>j,到达这状态的比分只可能为i-1:j ,所以这时有：G(i,j)=g(i-1,j)G(i-1,j)
若A输,亦即i<j, ,到达这状态的比分只可能为i:j-1="" ,所以这时有：=""
G(i,j)=(1-g(i,j-1))G(i,j-1)
其中G(0,0)=1
我们可以作i,j的通达图如下,
注：图中的每一整点(i,j),代表状态(比分)i:j.本通达图还与上述概率公式是一致的,我们可定义整点(i,j)的大小为G(i,j).则所有到达这个整点的路径经过的整点的大小之和就是这个整点的大小.
其中L1表示A胜,L2表示B胜,比赛进程在折线L1、L2和i,j轴内.把此范围内的所有点(不包含L1,L2上的点)的集合 定义为点集V.对图分析,对于L1上任一点(i,j)的G(i,j)均由(0,0)到(i,j)上不同路径传递过来的概率之和.
如上图,(i,j)为汇点,其它各点上的数值表示从这点到(i,j)的不同路径数目.
我们就可推出
lnG(i,j)=Kij (0,0) lnG(0,0) + 其中G(0,0)=1
=
其中,tij(x,y)为从(x,y)到(i,j)经过边(x,y)(x+1,y)的路径数
t’ij(x,y)为从(x,y)到(i,j)经过边(x,y)(x,y+1)的路径数
所以在11分制下,A胜出一局的概率为
P1= 其中L1为折线如上所述
在21分制下,同理有
P’1= 其中L’1的定义类似于L1,G’(i,j)的定义与G(i,j)一致(图略)
之后,我们取lnP1与lnP’1作比较,有
其中K1,K2i,j,K3i,j,K4i,j,K5i,j,r1,r2i,j,r3i,jr4i,j,r5i,j 均为常数
本模型的建立到此为止.由于篇幅有限,数据庞大,常细数据比较就不再细述了,详细的比较分析请看I .I 的模型建立已足可解决本问题了,II 的深入探讨到此为止.
III 对乒乓球11分制的利弊的综合评价及建议
由本模型可以看出11分制是可以接受的.因为它使比赛的“偶然性”增加,使比赛更加惊险,优势选手与稍弱的选手之间的竞技更具悬念性,二三流选手打败一流选手进入决赛的可能性更大,更能吸引观众.既然二三流选手有了更大的可能击败一流选手进入决赛,那么他们必然会打得更加勇敢,更加尽心尽力,因为结果不再像以前那样“必败无疑”,所以信心增加了,且也无什么心理压力,斗志更盛；另一方面,一流选手落败的可能性也变大了,他们知道此时不能再像以前一样,能十拿九稳地获胜,因为21分制下就算是输了先手在后阶段还可补救,但现在11分制下就不可能了,于是打球也会更尽力,心理上就丝毫也不敢放松、马虎了,每一球都力求打败对手,否则自己很可能处境将会非常狼狈,甚至会被淘汰出局.于是比赛双方就会殊死对抗,全力以付,浑身解数了,比赛会因此会变得更加激烈,更加精彩.也就是说“有利于形成对抗激烈,场面精彩的比赛”；比赛更吸引人.同时21分制改成11分制后赛程的缩短也不会使观众因长时间观看而感到过度疲倦,乏味,于是更多的观众会观看这些相对更惊险的比赛.同时因为比赛偶然性的增加,也使的更多弱势选手,乒乓球爱好者跃跃欲试,更勇敢地加入到比赛的行列中去,同时这些爱好者还会把身边的亲朋戚友也拉入这一运动行列中来,而亲朋戚友们见这种运动是这么多人喜爱的,且比赛是非常精彩,可赏性相当高,也就当然愿意加入了.可见“运动就是这样推广开去的”.观众的增加,和人们对此项运动的热爱的增加,将更有利于乒乓球市场的开发,乒乓球相关产品的销量将更加大,会有更多的商家加入乒乓球相关的行业,使乒乓球的产品品种将更丰富,品牌间竞争将更大,产品质量将更加高,相关服务行业也将更加兴旺.赞助商们的投入也回得到更大的回报,其产品,企业知明度将有所上升,更有利于赞肋商们的利益.同时,更多的商家会注意到这个“广告”是值得做的,于是就会竞相出资出力赞肋,在这种竞争下,将更有利于,乒乓球赛事办得更好,更精彩.可见两者是相互促进的,互惠互利的.
但利弊是相对的,相生的,有利必有弊.11分制也会因其赛程太短,使得选手心理压力更大,2球一换使一些对发球依赖较大的老队员不得不提前退役.但是这些问题我们都可以克服的,选手们会很快地适应这些变化的.
建议选手们应加强锻炼,积极适应新的规则决定胜负的还主要是技术方面的因素,但同时也应加心理素质,减少心理方面对比赛造成的负面影响.
总体来说11分制利大于弊,是可行的,值得推广的,而不会像羽毛球7分制一样实行不久就取消.
